Verantwortliche: Christian Bär (Universität Potsdam) und Bernhard Hanke (Universität Augsburg)
Teilnahme: erfordert persönliche Einladung durch die Organisatoren.
Wann: Anreise ist am Montag, dem 09. Juni 2025, zum Abendessen um 18:00 Uhr. Im Anschluss findet der Einführungsvortrag statt. Die Abreise ist am Sonnabend, dem 14. Mai 2025, nach dem Mittagessen.
Was: Der Ricci-Fluss ist ein fundamentales mathematisches Werkzeug in der riemannschen Geometrie, das mittlerweile jeder Geometer beherrschen sollte. In diesem Seminar werden wir die theoretischen Grundlagen des Ricci-Flusses erarbeiten und lernen, wie man ihn anwendet. Der Ricci-Fluss wurde von Richard Hamilton eingeführt und versucht, eine gegebene riemannsche Metrik durch eine krümmungsgesteuerte Evolution zu verbessern. Er hat zu wichtigen Durchbrüchen in der Differentialgeometrie und Topologie geführt.
Ein herausragendes Beispiel für die Anwendung des Ricci-Flusses ist der Beweis des differenzierbaren Sphärensatzes durch Simon Brendle und Richard Schoen. Der Sphärensatz besagt, dass eine kompakte, einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit, deren Schnittkrümmung zwischen 1 und 4 liegt, diffeomorph zur Sphäre ist. Klassische Methoden der riemannschen Geometrie haben nur Homöomorphie, nicht aber Diffeomorphie geliefert. Die Lösung dieses lange offenen Problems wurde durch eine tiefgehende Analyse der Konvergenzeigenschaften des Ricci-Flusses erreicht. Der differenzierbare Sphärensatz illustriert daher sehr schön die Kraft des Ricci-Flusses.
Wir werden auch ein älteres Resultat von Richard Hamilton besprechen, das besagt, dass eine kompakte zusammenhängende Dreifaltigkeit mit positiver Ricci-Krümmung diffeomorph zu einer sphärischen Raumform ist.
Wie: Das Seminar findet in deutscher Sprache statt. Die Vorträge sollten eine Dauer von 50 Minuten (plus Zeit für Diskussion) nicht überschreiten. Diese Zeitvorgabe bitte einhalten und bei der Planung der Vorträge berücksichtigen. Für den Notfall sollte man schon bei der Planung Passagen vorsehen, die wegfallen können, ohne dass der restliche Vortrag darunter allzu sehr leidet. Bei den Doppelvorträgen sollten sich die Sprecher gut abstimmen. Aus Ermangelung einer Tafel werden die Vorträge mit zwei Dokumentenkameras und angeschlossenen Beamern gehalten. Wichtig ist dabei, dass die Blätter nicht vorbereitet mitgebracht werden, sondern - wie an einer Tafel - während des Vortrags live beschrieben werden.
Wer: Um sinnvoll teilnehmen zu können, muss man über Kenntnisse der riemannschen Geometrie verfügen.
Die Finanzierung erfolgt durch das Schwerpunktprogramm „Geometrie im Unendlichen“. Die Teilnahme ist nur für den gesamten Zeitraum des Seminars möglich.
Literatur: Simon Brendle: Ricci flow and the sphere theorem, Graduate Studies in Mathematics 111, American Mathematical Society 2010
